Inequality 51 – Bất đẳng thức 51

March 6, 2011 Leave a comment

(Trần Quốc Anh)

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng (Let a,b,c be non-negative real numbers such that no two of which are zeros. Prove that:)
\dfrac{1}{2a^2+bc}+\dfrac{1}{2b^2+ca}+\dfrac{1}{2c^2+ab}\le \dfrac{(a+b+c)^2}{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+abc(a+b+c)}

Chứng minh (Proof)

(Vietnamese)

Download lời giải bản tiếng Anh.

(English)

Download the proof in English version.

Categories: Inequalities

Inequality 50 – Bất đẳng thức 50

January 22, 2011 Leave a comment

(Tạ Minh Hoằng)

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng (Let a,b,c be positive real numbers such that a+b+c=3. Prove that)

(2a^2+3)(2b^2+3)(2c^2+3) \ge 125.

Chứng minh (Proof)

(Vietnamese)

Download lời giải bản tiếng Anh.

(English)

Download the proof in English version.

Categories: Inequalities

Inequality 49 – Bất đẳng thức 49

January 22, 2011 Leave a comment

(Jack Garfunkel)

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn ab+bc+ca>0. Chứng minh rằng (Let a,b,c be non-negative real numbers such that ab+bc+ca>0. Prove that)

\dfrac{a}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{b}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{c}{\sqrt{c+a}}\le \dfrac{5}{4}\sqrt{a+b+c}.

Chứng minh (Proof)

(Vietnamese)

Download lời giải bản tiếng Anh.

Đây là lời giải kết hợp giữa Cauchy Schwarz và AM-GM.

(English)

Download the proof in English Version.

This is the AM-GM and Cauchy Schwarz proof.

Categories: Inequalities

Inequality 48 – Bất đẳng thức 48

September 26, 2010 Leave a comment

(Michael Rozenberg)

Cho a,b,c,d là các số thực dương, chứng minh rằng: (Let a,b,c,d be positive real numbers, prove that:)

\dfrac{(a+b+c+d)^4}{64abcd} \ge \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}

Chứng minh (Proof)

(Vietnamese)

Bất đẳng thức được viết lại thành: abc^2 + bcd^2 + cda^2 + dab^2 \le \dfrac{(a+b+c+d)^4}{64}

Không mất tính tổng quát, ta giả sử a=max{a,b,c,d}. Ta xét 2 trường hợp:

  • Trường hợp 1: b\ge d

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc (x+y)^2\ge 4xy, ta có:

(a+b+c+d)^4 \ge 16[(a+d)(b+c)]^2 = 16(ab+cd+ac+bd)^2 \ge 64(ab+cd)(ac+bd)

Mặt khác, do a=max{a,b,c,d} và b \ge d, ta có:

ac(a-c)(b-d) \ge 0 \Leftrightarrow (ab+cd)(ac+bc) \ge abc^2 + bcd^2 + cda^2 + dab^2

Bất đẳng thức được chứng minh.

  • Trường hợp 2: b \le d

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc (x+y)^2\ge 4xy, ta có:

(a+b+c+d)^4 \ge 16[(a+b)(c+d)]^2 = 16(ac+bd+ad+bc)^2 \ge 64(ac+bd)(ad+bc)

Mặt khác, do a=max{a,b,c,d} và b \le d, ta có:

bd(b-d)(c-a) \ge 0 \Leftrightarrow (ac+bd)(ad+bc) \ge abc^2 + bcd^2 + cda^2 + dab^2

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d.

(English)

The inequality can be written as: abc^2 + bcd^2 + cda^2 + dab^2 \le \dfrac{(a+b+c+d)^4}{64}

Without loss of generality, we may assume that a=max{a,b,c,d}. There are 2 cases to consider:

  • Case 1: b\ge d

From the well-known inequality (x+y)^2\ge 4xy, we have

(a+b+c+d)^4 \ge 16[(a+d)(b+c)]^2 = 16(ab+cd+ac+bd)^2 \ge 64(ab+cd)(ac+bd)

Otherwise, since a=max{a,b,c,d} and b \ge d, we have:

ac(a-c)(b-d) \ge 0 \Leftrightarrow (ab+cd)(ac+bc) \ge abc^2 + bcd^2 + cda^2 + dab^2

The inequality is proved.

  • Case 2: b \le d

Applying the well-known inequality (x+y)^2\ge 4xy, we have:

(a+b+c+d)^4 \ge 16[(a+b)(c+d)]^2 = 16(ac+bd+ad+bc)^2 \ge 64(ac+bd)(ad+bc)

Otherwise, since a=max{a,b,c,d} and b \le d, we have:

bd(b-d)(c-a) \ge 0 \Leftrightarrow (ac+bd)(ad+bc) \ge abc^2 + bcd^2 + cda^2 + dab^2

The proof is completed. Equality holds for a=b=c=d.

Categories: Inequalities

Inequality 47 – Bất đẳng thức 47

August 28, 2010 2 comments

(Tourish – AoPS forum)

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm tất cả hằng số k sao cho bất đẳng thức sau đúng: (Let a,b,c be positive real numbers. Determine all the values of k such that the following inequality holds:).

\left( {k + \dfrac{a}{{a + b}}} \right)\left( {k + \dfrac{b}{{b + c}}} \right)\left( {k + \dfrac{c}{{c + a}}} \right) \ge {\left( {k + \dfrac{1}{2}} \right)^3}

Lời giải (Solution)

(Vietnamese)

Đặt \dfrac{b}{a} = x,\dfrac{c}{b} = y,\dfrac{a}{c} = z, khi đó xyz=1.

k \in \left[ {\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{4};\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right] .

(English)

Setting \dfrac{b}{a} = x,\dfrac{c}{b} = y,\dfrac{a}{c} = z, so that xyz=1.

k \in \left[ {\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{4};\dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{4}} \right].

Categories: Inequalities

Những điều thú vị về mưa sao băng Anh Tiên

August 14, 2010 Leave a comment

Sao băng Anh Tiên (Perseid) lao vào khí quyển trái đất với tốc độ 60 km/giây và bị nung nóng tới hàng nghìn độ C.

Mưa sao băng Anh Tiên là sự kiện diễn ra vào tháng 8 hàng năm do trái đất lọt vào vùng bụi do một sao chổi để lại.

null
Mưa sao băng Anh Tiên gần Grazalema, phía nam Tây Ban Nha vào sáng sớm ngày 13/8. Ảnh: AFP.

Những vệt sao băng Anh Tiên bay rất nhanh. Chúng lao vào khí quyển trái đất với tốc độ trung bình 60 km/giây. Phần lớn sao băng chỉ nhỏ tương đương hạt cát, song một số có thể to bằng hòn bi ve. Những sao băng rơi xuống đất được gọi là thiên thạch. Tuy nhiên, đa số sao băng không rơi xuống đất.

Tàn dư của sao chổi Swift-Tuttle gây nên mưa sao băng Anh Tiên. Sao chổi Swift-Tuttle là vật thể lớn nhất bay qua trái đất hàng năm. Lõi của nó có đường kính khoảng 9,7 km, tương đương với thiên thạch từng khiến khủng long tuyệt chủng.

Trong thập niên 90, một nhà thiên văn có tên Brian Marsden từng dự đoán sao chổi Swift-Tuttle có thể lao vào trái đất trong tương lai. Ngay sau đó nhiều nhà khoa học đã bác bỏ phán đoán này. Mặc dù vậy, Marsden khẳng định sao chổi Swift-Tuttle và trái đất sẽ suýt đâm nhau vào năm 3044.

Khi một vệt sao băng Anh Tiên tiến vào bầu khí quyển, nó nén không khí ở phía trước. Sự cọ xát với không khí khiến sao băng có thể bị nung nóng tới nhiệt độ hơn 1.650 độ C. Mức nhiệt đó khiến phần lớn sao băng bay hơi, tạo ra vệt sáng trên trời. Con người có thể nhìn thấy sao băng khi chúng ở độ cao khoảng 97 km trở xuống. Một số sao băng có kích thước lớn nên tạo thành cầu lửa và đôi khi có thể gây nên tiếng nổ khi chạm đất.

Sao chổi Swift-Tuttle có rất nhiều “họ hàng”. Phần lớn những sao chổi đó hình thành ở một đám mây bụi rất xa có tên là Oort và chưa bao giờ tiến vào hệ Mặt Trời. Chỉ có một số sao chổi, như Swift-Tuttle, bị kéo về phía hệ Mặt Trời bởi lực hấp dẫn của một ngôi sao nào đó.

Những vệt sao băng Anh Tiên có thể cách nhau từ 96 tới 160 km. Chúng duy trì khoảng cách đó ngay tại vùng có mật độ vật chất dày đặc nhất trong đám mây mà sao chổi Swift-Tuttle để lại. Sao chổi này mất 130 năm để bay một vòng quanh mặt trời. Trong quá trình di chuyển nó để lại đám mây bụi. Đám mây này trôi dạt trong vũ trụ và cũng di chuyển quanh mặt trời theo quỹ đạo gần giống quỹ đạo của sao chổi Swift-Tuttle.

Do trái đất xoay tròn, phần hướng về phía mặt trời có xu hướng nhận nhiều bụi từ vũ trụ hơn. Vùng trời có nhiều bụi vũ trụ lại xuất hiện ở phía trên vào lúc bình minh. Vì lý do đó, con người thường nhìn thấy mưa sao băng Anh Tiên và các trận mưa sao băng khác rõ nhất trước khi mặt trời mọc khoảng vài giờ.

Các nhà thiên văn nhìn thấy sao chổi Swift-Tuttle lần cuối vào năm 1992. Khi đó người ta có thể dùng ống nhòm để quan sát nó. Trước đó nó được phát hiện bởi hai nhà thiên văn Mỹ là Lewis Swift và Horace Tuttle vào năm 1862. Vì thế mà người ta đặt tên cho sao chổi này là Swift-Tuttle.

Giới khoa học vừa tính toán được quỹ đạo của sao chổi Swift-Tuttle trong gần 2.000 năm qua. Dựa trên nhiều tài liệu cổ, họ cho rằng nó được nhìn thấy từ năm 188. Thậm chí một số nhà khoa học còn cho rằng nó đã được phát hiện từ năm 69 trước Công nguyên.

Sao chổi Swift-Tuttle sẽ hiện ra trên bầu trời vào năm 2126 và khi đó con người có thể nhìn nó bằng mắt thường.

Minh Long.

Theo: vnexpress.net

Categories: Cuộc sống

Inequality 46 – Bất đẳng thức 46

August 13, 2010 Leave a comment


Cho a,b,c là các số thực dương, chứng minh rằng (Let a,b,c be positive real numbers, prove that:)

27(ab + bc + ca)({a^2}b + {b^2}c + {c^2}a) \le {(a + b + c)^5}

Chứng minh (Proof)

(Vietnamese)

Không mất tính tổng quát, giả sử b là số nằm giữa a và c, tức là: \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right) \le 0 \Leftrightarrow {b^2} + ca \le b\left( {c + a} \right).

Khi đó, ta có:

{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a = {a^2}b + c\left( {{b^2} + ca} \right) \le b\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right)

Vậy ta cần chứng minh:

27b(ab + bc + ca)\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right) \le {(a + b + c)^5}

Điều này đúng theo bất đẳng thức AM-GM:

\begin{aligned}b(ab + bc + ca)\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right) &\le b{\left( {\dfrac{{ab + bc + ca + {a^2} + ac + {c^2}}}{2}} \right)^2}\\&\le b\dfrac{{{{(a + c)}^2}{{(a + b + c)}^2}}}{4} = b.\dfrac{{a + c}}{2}.\dfrac{{a + c}}{2}{(a + b + c)^2}\\& \le \dfrac{{\left( {b + \dfrac{{a + c}}{2} + \dfrac{{a + c}}{2}} \right)^3}}{27}{(a + b + c)^2} = \dfrac{{(a + b + c)^5}}{27}\\\end{aligned}

Vậy ta có ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c.

(English)

Without loss of generality, we may assume that b is between a and c, so: \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right) \le 0 \Leftrightarrow {b^2} + ca \le b\left( {c + a} \right).

We have,

{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a = {a^2}b + c\left( {{b^2} + ca} \right) \le b\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right)

Therefore, it suffices to prove that:

27b(ab + bc + ca)\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right) \le {(a + b + c)^5}

The above inequality is true according to AM-GM inequality:

\begin{aligned}b(ab + bc + ca)\left( {{a^2} + ac + {c^2}} \right) &\le b{\left( {\dfrac{{ab + bc + ca + {a^2} + ac + {c^2}}}{2}} \right)^2}\\&\le b\dfrac{{{{(a + c)}^2}{{(a + b + c)}^2}}}{4} = b.\dfrac{{a + c}}{2}.\dfrac{{a + c}}{2}{(a + b + c)^2}\\& \le \dfrac{{\left( {b + \dfrac{{a + c}}{2} + \dfrac{{a + c}}{2}} \right)^3}}{27}{(a + b + c)^2} = \dfrac{{(a + b + c)^5}}{27}\\\end{aligned}

The proof is completed. Equality holds for a=b=c.

Categories: Inequalities

Cậu bé không tay học giỏi

August 12, 2010 Leave a comment

Nhìn con trai chào đời với đôi tay cụt sát vai, hai vợ chồng làm thuê tại Vịnh Tre, An Giang, ôm nhau khóc cả tháng, bởi ngày đó, trong cái túng quẫn sẵn có, thêm một đứa con như vậy tương lai càng mịt mờ hơn.

“Lau nước mắt, an ủi vợ, chúng tôi đặt tên con là Nguyễn Minh Trí. Không ngờ như thấu hiểu được nỗi khổ của cha mẹ, Trí ngoan ngoãn, kiên trì vượt qua nỗi khổ cụt tay để giờ đây, sau 17 năm, Trí trở thành một con ngoan trò giỏi”, ông Nguyễn Văn An, bố Trí nói.

null
Không có tay, Trí vẫn quyết tâm trở thành họa sĩ. Ảnh: Gia Bảo.

Ông An kể, từ nhỏ cậu bé đã luôn thể hiện một nghị lực phi thường: “Không có tay mỗi lần bị té thay vì nằm khóc, nó luôn vùng vẫy để ngồi dậy. Lúc lên 3 tuổi, bị muỗi cắn nhìn thấy nó hút no máu, Trí chỉ vẫn cố nhúc nhích cho muỗi bay. Vợ chồng tôi thường đi làm, sợ Trí ở nhà té xuống nước chết nên 4 tuổi tôi đã tập cho cháu bơi lội đến bơi xuồng ghe. Giờ đây chỉ với đôi chân Trí đã bơi qua kênh như “nhái”. Cậu bé dùng chân thay cho đôi tay

Bắt đầu đến tuổi đi học, Trí càng tỏ ra siêng năng chăm chỉ. Tập viết, lật sách, cho tập vở vào cặp, tất cả mọi việc đều tự mình Trí làm mà không cần ai giúp đỡ. Trí khiến thầy cô bạn bè thương yêu hơn khi thành tích học tập luôn đứng đầu lớp.

“Con phải cố học để trở thành giáo viên dạy hội họa. Con thích truyền đạt những kiến thức mình học được để giúp ích cho gia đình và xã hội. Chỉ sợ gia đình nghèo quá, cha mẹ phải làm thuê nên không đủ tiền trang trải mà thôi”, cậu học trò lớp 9A2, trường Trung học cơ sở xã Thạnh Mỹ Tây, Châu Phú, tỉnh An Giang, nói.

Như ý thức mình tàn tật là gánh nặng của gia đình, ngoài giờ học, mẹ Trí cho biết, Trí giúp mẹ đủ việc, từ nấu ăn, lau nhà, rửa chén, trồng được cả cây kiểng đến nuôi cá lia thia. Hằng ngày, sau giờ học Trí còn đi bắt ốc bươu vàng làm thức ăn cho hơn 1.000 con ếch Thái là nguồn sống cho cả nhà.

Có khách đến thăm, Trí bước nhanh xuống mé kênh, dùng đôi chân tháo dây mũi xuồng rồi nhẹ nhàng dùng chân đưa dầm lên đưa máy dầm xuống nước chở khách sang kênh. Lúc cha tiếp khách, Trí đã kẹp mâm nước trà trên cổ mang ra, rồi dùng chân lần lượt rót mời từng người một.

Gia Bảo

Theo: vnexpress.net

Categories: Cuộc sống

Inequality 45 – Bất đẳng thức 45

August 12, 2010 Leave a comment

(Unknown Author)

Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn: (Let a,b,c be non-negative real numbers such that:)

ab+bc+ca=3.

Tìm tất cả hằng số k sao cho bất đẳng thức sau đúng (Find all values of k such that the following inequality holds)

a^2+b^2+c^2+ka^2b^2c^2 \ge 3 +k

Lời giải (Solution)

(Vietnamese)

k \in \left( { - \infty ;\dfrac{9}{4}} \right].

(English)

k \in \left( { - \infty ;\dfrac{9}{4}} \right].

Categories: Inequalities

Algebra 3 – Đại số 3

August 11, 2010 Leave a comment

(Unknown Author)

Cho m là số nguyên thoả mãn m > \dfrac{n^4}{16}, trong đó n là một số nguyên cho trước. Chứng minh rằng m không có quá 2 biểu diễn thành tích của 2 số nguyên sao cho hiệu của chúng không vượt quá n.

Lời giải (Solution)

Categories: Algebra